WEBVTT

1
00:00:00.000 --> 00:00:03.108
这一瞬间，到底有多陡？只看一个点，陡峭似乎没法测量。

2
00:00:03.108 --> 00:00:04.782
那就先借一个邻近的点来帮忙。

3
00:00:05.482 --> 00:00:07.296
看函数 f x 等于 x 平方。

4
00:00:07.296 --> 00:00:11.377
固定点 P 是一逗号一，让动点 Q 落在一加 h，逗号一加 h 的平方。

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00:00:11.377 --> 00:00:13.077
连接 P Q，就得到一条割线。

6
00:00:13.877 --> 00:00:16.429
横着走 h，竖着走二 h 加 h 平方。

7
00:00:16.429 --> 00:00:20.513
所以割线斜率，也就是差商，等于二 h 加 h 平方，再除以 h。

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00:00:20.513 --> 00:00:22.938
只要 h 不等于零，就能约成二加 h。

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00:00:23.938 --> 00:00:26.009
现在让 Q 从右侧慢慢靠近 P。

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00:00:26.009 --> 00:00:30.928
h 越来越小，差商二点五，二点二，二点零五，越来越接近二。割线也在连续转动。

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00:00:31.928 --> 00:00:33.396
但别急着把 h 代成零。

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00:00:33.396 --> 00:00:36.945
零不能做除数，P 和 Q 也会重合，根本画不出唯一的割线。

13
00:00:36.945 --> 00:00:39.760
我们研究的是靠近零时的趋势，不是计算零除以零。

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00:00:40.760 --> 00:00:43.799
从左边也来一次。h 是负数，Q 仍在抛物线上；

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00:00:43.799 --> 00:00:47.101
水平变化为负，垂直变化二 h 加 h 平方也为负。

16
00:00:47.101 --> 00:00:49.215
两个负数相除，斜率仍是二加 h。

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00:00:50.215 --> 00:00:54.390
负 h 从负零点六，缩到负零点二，再接近零，差商从一点四靠近二。

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00:00:54.390 --> 00:00:58.305
左右两侧给出同一个极限，所以曲线在 P 点的瞬时斜率就是二。

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00:00:59.305 --> 00:01:00.965
这条极限位置的直线叫切线。

20
00:01:00.965 --> 00:01:04.412
经过一逗号一，斜率为二，方程是 y 等于二 x 减一。

21
00:01:04.412 --> 00:01:07.860
割线没有突然跳过去，而是在 h 趋近零时，逐渐贴近它。

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00:01:08.860 --> 00:01:12.667
现在换你来想：同一条抛物线，在 x 等于二处，斜率会是多少？

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00:01:12.667 --> 00:01:16.094
提示：仍然用差商，不过这一次，附近的点该围着哪个点呢？

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00:01:21.094 --> 00:01:25.325
答案是四。因为 x 等于二时，差商会化简成四加 h，趋近零就得到四。

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00:01:25.325 --> 00:01:27.939
一个点的陡峭，原来藏在附近点的共同趋势里。